Данная таблица истинности относится к логической операции


Формулы и законы логики Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Зарегистрируйтесь на и будьте в курсе новостей проекта! Высшая математика: Не нашлось нужной задачи? Учимся решать: Аналитическая геометрия: Элементы высшей алгебры: Пределы: Производные функций: Функции и графики: ФНП: Интегралы: Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, мне об этом Кнопка для сайта: Когда нет времени: Помогут разобраться в теме, подготовиться данная таблица истинности относится к логической операции экзамену Формулы и законы логики На вводном уроке, посвящённоммы познакомились с базовыми понятиями этого раздела математики, и сейчас тема получает закономерное продолжение. Кроме того, для практики нам потребуется 5 таблиц истинностикоторые я настоятельно рекомендую переписать от руки. НЕ запомнить, НЕ распечатать, а именно ещё раз осмыслить и собственноручно переписать на бумагу — чтобы они были перед глазами: — таблица НЕ; — таблица И; — таблица ИЛИ; — импликационная таблица; — таблица эквиваленции. В принципе, их было бы удобно занумеровать «Таблица 1», «Таблица 2» и т. Поэтому будем использовать «натуральные» названия. Продолжаем: На самом деле с понятием логической формулы вы уже знакомы. Приведу стандартное, но довольно-таки остроумное определение: формулами алгебры высказываний называются: 1 любые элементарные простые высказывания ; 2 если и — формулы, то формулами также являются выражения вида. Никаких других формул нет. В частности формулой является любая логическая операция, например логическое умножение. Обратите внимание на второй пункт — он позволяет рекурсивным образом «создать» сколь угодно длинную формулу. Поскольку — формулы, то — тоже формула; так как и — формулы, то — тоже формула и т. Любое элементарное высказывание опять же согласно определению может входить в формулу неоднократно. Формулой не является, например, запись — и здесь прослеживается очевидная аналогия с «алгебраическим мусором»из которого не понятно — нужно ли числа складывать или умножать. Логическую формулу можно рассматривать, как логическую функцию. Запишем в функциональном виде ту же конъюнкцию: Элементарные высказывания и в этом случае играют роль аргументов независимых переменныхкоторые в классической данная таблица истинности относится к логической операции могут принимать 2 значения: истина или ложь. Далее для удобства я буду иногда называть простые высказывания переменными. Таблица, описывающая логическую формулу функцию называется, как уже было озвучено, таблицей истинности. Пожалуйста — знакомая картинка: Принцип формирования таблицы истинности таков: «на входе» нужно перечислить все возможные комбинации истины и лжи, которые могут принимать элементарные высказывания аргументы. В данном случае в формулу входят два высказывания, и нетрудно выяснить, что таких комбинаций четыре. «На выходе» же получаем соответствующие логические значения всей формулы функции. Надо сказать, что «выход» здесь получился «в один шаг», но в общем случае логическая формула является более сложной. И в данная таблица истинности относится к логической операции «непростых случаях» нужно соблюдать порядок выполнения логических операций: — в первую очередь выполняется отрицание ; — во вторую очередь — конъюнкция ; — затем — дизъюнкция ; — потом импликация ; — и, наконец, низший приоритет имеет эквиваленция. Так, например, запись подразумевает, что сначала нужно осуществить логическое умножениеа затем — логическое сложение:. Прямо как в «обычной» алгебре — «сначала умножаем, а затем складываем». Порядок действий можно изменить привычным способом — скобками: — здесь в первую очередь выполняется дизъюнкция и только потом более «сильная» операция. Наверное, все понимают, но на всякий пожарный: и — это две разные формулы! В данную формулу входят два элементарных высказывания и «на входе» нам нужно перечислить все возможные комбинации единиц и нулей. Чтобы избежать путаницы и разночтений договоримся перечислять комбинации строго в таком порядке который я, собственно, де-факто использую с самого начала : В формулу входят две логические операции, и согласно их приоритету, в первую очередь нужно выполнить отрицание высказывания. Ну что же, отрицаем столбец «пэ» — единицы превращаем в нули, а нули — в единицы: На втором шаге смотрим на столбцы и применяем к ним операцию ИЛИ. Немного забегая вперёд, скажу, что дизъюнкция перестановочна и — это одно и то жеи поэтому столбцы можно анализировать в привычном порядке — слева направо. При выполнении логического сложения удобно использовать следующее прикладное рассуждение: «Если два нуля — ставим ноль, если хотя бы одна единица — единицу»: Таблица истинности построена. А теперь вспомним старую-добрую импликацию: …внимательно-внимательно… смотрим на итоговые колонки…. В алгебре высказываний такие формулы называются равносильными или тождественными: три горизонтальные чёрточки — это значок тождества В 1-й части урока я обещал выразить импликацию через базовые логические операции, и выполнение обещания не заставило себя ждать! Желающие могут вложить в импликацию содержательный смысл например, «Если идёт дождь, то на улице сыро» и самостоятельно проанализировать равносильное утверждение. Сформулируем общее определение: две формулы называются равносильными тождественнымиесли они принимают одинаковые значения при любом наборе значений, входящих в эти формулы переменных элементарных высказываний. Также говорят, что «формулы равносильны, если совпадают их таблицы истинности», но мне не очень нравится эта фраза. Задание 1 Составить таблицу истинности для формулы и убедиться в справедливости знакомого вам тождества. Ещё раз повторим порядок решения задачи: 1 Так как в формулу входят две переменные, то всего будет 4 возможных набора данная таблица истинности относится к логической операции и единиц. Записываем их в оговорённом данная таблица истинности относится к логической операции порядке. Заполняем столбецпри этом удобно использовать следующее прикладное рассуждение: «если из единицы следует ноль, то ставим ноль, во всех других случаях — единицу». Далее заполняем столбец для импликации данная таблица истинности относится к логической операции, и при этом, внимание! А здесь удобно рассуждать так: «если данная таблица истинности относится к логической операции столбцах и две единицы, то ставим единицу, во всех остальных случаях — ноль». И, наконец, сверяемся с таблицей истинности. Основные равносильности алгебры высказываний С двумя из них мы только что познакомились, но ими дело, понятно, не огранивается. Тождеств довольно много и я перечислю самые важные и самые известные из них: Данная таблица истинности относится к логической операции конъюнкции и коммутативность дизъюнкции Коммутативность — это перестановочность: Знакомые с 1-го класса правила: «От перестановки множителей слагаемых произведение сумма не данная таблица истинности относится к логической операции. Но при всей кажущейся элементарности этого свойства, справедливо оно далеко не всегда, в частности, некоммутативным является в общем случае их переставлять нельзяа — антикоммутативно перестановка векторов влечёт за собой смену знака. И, кроме того, здесь я снова хочу подчеркнуть формализм математической логики. Так, например, фразы «Студент сдал экзамен и выпил» и «Студент выпил и сдал экзамен» различны с содержательной точки зрения, но неразличимы с позиций формальной истинности. И опять же — эти, казалось бы, «банальные» свойства выполняются далеко не во всех алгебраических системах, данная таблица истинности относится к логической операции, более того, требуют доказательства о которых мы очень скоро поговорим. К слову, второй дистрибутивный закон несправедлив даже в нашей «обычной» алгебре. И в самом деле: Закон идемпотентности Что делать, латынь. А для того, чтобы усилить эмоциональную окраску отрицания нередко используют три «не»: — даже с крохотным доказательством получилось! Законы поглощения — «а был ли мальчик? Законы де Моргана Предположим, что строгий Преподаватель имя которого вам тоже известно: ставит экзамен, если — Студент ответил на 1-й вопрос и — Студент ответил на 2-й вопрос. Тогда высказываниегласящее о том, что Студент не сдал экзамен, будет равносильно утверждению — Студент не ответил на 1-й вопрос или на 2-й вопрос. Как уже отмечалось выше, равносильности подлежат доказательству, которое стандартно осуществляется с помощью таблиц истинности. В действительности мы уже доказали равносильности, выражающие импликацию и эквиваленцию, и сейчас настало время закрепить технику решения данной задачи. Поскольку в него входит единственное высказыванието «на входе» возможно всего лишь два варианта: единица либо ноль. Далее приписываем единичный столбец и применяем к ним правило И: В результате «на выходе» получена формула, истинность которой совпадает с истинностью высказывания. Да, это доказательство является примитивным а кто-то скажет, что и «тупым»но типичный Преподаватель по матлогике вытрясет за него душу. Поэтому даже к таким простым вещам не стОит относиться пренебрежительно. Теперь убедимся, например, в справедливости закона де Моргана. Сначала составим таблицу истинности для левой части. Поскольку дизъюнкция находится в скобках, то в первую очередь выполняем именно её, после чего отрицаем столбец : Далее составим таблицу истинности для правой части. Здесь тоже всё прозрачно — в первую очередь проводим более «сильные» отрицания, затем применяем к столбцам правило И: Результаты совпали, таким образом, тождество доказано. Любую равносильность можно представить в виде тождественно истинной формулы. Это значит, что ПРИ ЛЮБОМ исходном наборе нулей и единиц «на выходе» получается строго единица. И этому есть очень простое объяснение: так как таблицы истинности и совпадают, то, разумеется, они эквивалентны. Соединим, например, эквиваленцией левую и правую часть только что доказанного тождества де Моргана: Или, если компактнее: Задание 2 Доказать следующие равносильности: а ; б Краткое решение в конце урока. Постарайтесь не просто составить таблицы истинности, но ещё и чётко сформулировать выводы. Как я недавно отмечал, пренебрежение простыми вещами может обойтись очень и очень дорого! Продолжаем знакомиться с законами логики! Да, совершенно верно — мы с ними уже вовсю работаем: Формула, которая принимает значение Истина при любом наборе значений входящих в неё переменных, данная таблица истинности относится к логической операции тождественно истинной формулой или законом логики. В силу обоснованного ранее перехода от равносильности к тождественно истинной формулевсе перечисленные выше тождества представляют собой законы логики. Формула, которая принимает значение Ложь при любом наборе значений входящих в неё переменных, называется тождественно ложной формулой или противоречием. Фирменный пример противоречия от древних греков: — никакое высказывание не может быть истинным и ложным одновременно. Доказательство тривиально: «На выходе» получены исключительно нули, следовательно, формула данная таблица истинности относится к логической операции тождественна ложна. Однако и любое противоречие — это тоже закон логики, в частности: Нельзя объять столь обширную тему в одной-единственной статье, и поэтому я ограничусь ещё лишь несколькими законами: Закон исключённого третьего — в классической логике любое высказывание истинно или ложно и третьего не дано. «Быть или не быть» — вот в чём вопрос. Самостоятельно составьте табличку истинности и убедитесь в том, что это тождественно истинная формула. Закон контрапозиции Этот закон активно муссировался, когда мы обсуждали сутьвспоминаем: «Если во время дождя на улице сыро, то из этого следует, что если на улице сухо, то дождя точно не было». Также из данного закона следует, что если справедливой является прямаято обязательно истинным будет и утверждениекоторое иногда называют противоположной теоремой. Если истинна обратная теоремато в силу закона контрапозициисправедлива и теорема, противоположная обратной: И снова вернёмся к нашим содержательным примерам: для высказываний — число делится на 4, — число делится на 2 справедливы прямая и противоположная теоремы, но ложны обратная и противоположная обратной теоремы. Для «взрослой» же формулировки теоремы Пифагора истинны все данная таблица истинности относится к логической операции «направления». Закон силлогизма Тоже классика жанра: «Все дубы — деревья, все деревья — растения, следовательно, все дубы — растения». В данную формулу входят уже элементарных высказыванияа значит, всего будет: различных комбинаций нулей и единиц. Составим таблицу истинности для формулы. В соответствии с приоритетом логических операций, придерживаемся следующего алгоритма: 1 выполняем импликации и. Вообще говоря, можно сразу выполнить и 3-ю импликацию, но с неё удобнее и допустимо! Не стесняйтесь контролировать процесс указательным и средним пальцем : Из последнего столбца, думаю, всё понятно без комментариев:что и требовалось доказать. Задание 3 Выяснить, будет ли являться законом логики следующая формула: Краткое решение в конце урока. Да, и чуть не забыл — давайте условимся перечислять исходные наборы нулей и единиц в точно таком же порядке, что и при доказательстве закона силлогизма. Строки конечно, можно и переставить, но это сильно затруднит сверку с моим решением. Преобразование логических формул Помимо своего «логического» назначения, равносильности широко используются для преобразования и упрощения формул. Грубо говоря, одну часть тождества можно менять на другую. Так, например, если в логической формуле вам встретился фрагментто по закону идемпотентности вместо него можно и нужно записать просто. Если вы видитето по закону поглощения упрощайте запись до. Кроме того, есть ещё одна важная вещь: тождества справедливы не только для элементарных высказываний, но и для произвольных формул. Так, например:где — любые сколь угодно сложные формулы. Преобразуем, например, сложную импликацию 1-е тождество : Далее применим к скобке «сложный» закон де Моргана, при этом, в силу приоритета операций, именно законгде : Скобки можно убрать, т. Ну, а с коммутативность вообще всё просто — даже обозначать ничего не нужно… что-то запал мне в душу закон силлогизма: Таким данная таблица истинности относится к логической операции, закон можно переписать и в более затейливом виде: Проговорите вслух логическую цепочку «с дубом, деревом, растением», и вы поймёте, что от перестановки импликаций содержательный смысл закона нисколько не изменился. Разве что формулировка стала оригинальнее. В качестве тренировки упросим формулу. Прежде всего, разобраться с порядком действий: здесь отрицание применено к целой скобке, которая «скреплена» с высказыванием «чуть более слабой» конъюнкцией. По существу, перед нами логическое произведение двух множителей:. Из двух оставшихся операций низшим приоритетом обладает импликация, и поэтому вся формула имеет следующую структуру:. Как правило, на первом шаге шагах избавляются от эквиваленции данная таблица истинности относится к логической операции импликации если они есть и сводят формулу к трём основным логическим операциям. Затем обычно следуют «разборки» со скобками. Сначала всё решение, затем комментарии. Чтобы не получилось «масло масляное», буду использовать значки «обычного» равенства: 2 К внешним скобкам применяем закон де Морганагде. Внешние скобки можно убрать, т. Оставшиеся скобки тоже убираем по озвученной выше причине. Наверное, все обратили внимание на формализм последних преобразований, но решать лучше именно так! В противном случае с немалой вероятностью гарантированы проблемы с зачётом задания впрочем, тут от преподавателя зависит. Математическая логика как наука — формальна, и строго говоря, осуществлять «перескоки» наподобие нежелательно. Пара задач для закрепления материала: Задание 4 Выразить эквиваленцию через отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и раскрыть скобки Аккуратно проводим преобразования в соответствии с равносильностями. После этого будет не лишним вернуться к параграфу об и найти там фразу, которая соответствует полученному результату ;- Задание 5 Упростить логическую формулу Решения с подробными комментариями совсем близко. И в заключение урока небольшое напутствие для читателей, которым предстоит погружение в матлогику. Данный предмет у меня был на 1-м курсе института, и в ходе изучения исчисления высказываний, предикатов и прочих «машин тьюринга» я допускал принципиальную ошибку — а именно, пытался «подогнать» под математическую логику неформальную основу. И окончательное понимание всей стройности формальной теории, важности «очевидных» доказательств и т. То же самое, кстати, относится к и некоторым другим предметам. Решения и ответы: Задание 1 Решение: составим таблицу истинности для формулы : подробные инструкции по заполнению таблицы находятся после условия задачи Полученный результат совпадает с эквиваленцией высказываний итаким образом: Задание 2 Решение: доказательства проведём с помощью таблиц истинности: а Дважды записываем все варианты истины и лжи высказывания и применяем к столбцам операцию ИЛИ: Результат совпадает с. Тождество доказано б составим таблицу истинности для левой части тождества. Сначала к столбцам и применяем операцию ИЛИ, затем к столбцам и — операцию И: В результате истинность формулы совпала с истинностью высказываниятаким образом, тождество доказано. Задание 3 Решение: составим таблицу истинности: Вывод: данная формула не является тождественно истинной законом логики Задание 4 Решение: 1 Используем тождество. А вдруг в алгебре логики это правило несправедливо? Задание 5 Решение: 1 Для левой скобки используем закон де Моргана. Во второй скобке — «раскладываем» импликацию. В силу коммутативности конъюнкции меняем местам и. Убираем все скобки, поскольку это не меняет порядок действий. Ответ : Автор: Емелин Александр Переход на главную страницу.

комментарий:

комментарий
 

Стоит одному стать ложью и все сложное высказывание будет лживо. Из двух оставшихся операций низшим приоритетом обладает импликация, и поэтому вся формула имеет следующую структуру:.